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No hay dos sin tres

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Una noche en la que siento el corazón partido, escucho en la radio una canción que parte de su letra dice: «no hay dos sin tres».

La oración despierta mi curiosidad y despeja mi mente. En internet busco su significado, y lo que encuentro es una relación con la siguiente frase de Paulo Coelho1: «lo que ocurre dos veces, ocurrirá invariablemente, una tercera vez». Y pienso: «¿Acaso si algo ocurre tres veces, pasará una cuarta, luego una quinta vez, y así sucesivamente?». Sin duda, es algo que no podemos saber con certeza; por ejemplo, si en un juego de fútbol caen dos goles del equipo favorito, no necesariamente caerá el tercer gol antes de que termine el partido.

Aunque está recursividad de hechos, puede que en la vida no sea cien por ciento acertada, en matemáticas está presente en algo que todos utilizamos frecuentemente, y me refiero a los números naturales.

HABLEMOS DE BOLSAS Y MÁS BOLSAS

Con base en los axiomas del matemático italiano Giuseppe Peano2, junto a la teoría axiomática de conjuntos ZFC3, podemos mostrar cómo a partir del conjunto al que llamamos vacío (pensaremos en el conjunto vacío como una bolsa sin nada en su interior), se construyen los números naturales.

Está construcción comienza dándole al conjunto vacío un valor inicial, para este caso le asignaremos el cero (cabe mencionar, que existe en la actualidad la polémica sobre si los números naturales comienzan en cero o en uno, pero esa discusión va más allá del propósito de este escrito).

Para construir el número uno, colocamos el cero dentro de otro conjunto; algo así como una bolsa vacía dentro de otra (para fines prácticos, nos referiremos a los conjuntos como bolsas). Para el número dos, debemos colocar el cero y el uno dentro de otra bolsa, es decir, debemos tener una bolsa que contenga dos bolsas; una vacía y otra que contenga una bolsa vacía. Para el número tres, necesitamos una bolsa que solo contenga al número dos, uno y cero; para el número cuatro, necesitamos que la bolsa contenga al número tres, dos, uno y cero. Este proceso se repite indefinidamente, precisamente como la infinitud de los números naturales.

Teniendo en cuenta que un número necesita a sus homólogos anteriores para existir, en particular podemos decir que en matemáticas el dos puede existir sin necesidad del tres, pero es imposible que exista el tres sin necesidad del dos; o simplemente decir, no hay tres sin dos.

1. http://www.refranesysusignificado.com/refran9582.html

2. https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano

3. https://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel#Sobre_el_concepto_de_conjunto

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